P r é s e n t a t i o n

Le système occidental utilise une gamme dont les 12 demi-tons sont rigoureusement égaux (système tempéré). Nous nous proposons de recenser tous les systèmes d'intervalles existant à l'intérieur d'une octave quelconque et utilisant les 12 sons de la gamme chromatique (nous prendrons comme étalon l'octave de Do). Nous pouvons globalement classer les échelles en deux ensembles distincts:

1  L'ensemble hepta-diatonique, comprenant toutes les échelles formées à partir des 7 notes de la gamme traditionnelle.

2  L'ensemble dodeca-chromatique, comprenant toutes les échelles formées à partir des 12 Sons de la gamme chromatique en excluant l'ensemble hepta-diatonique.

L'ensemble 2 est évidemment le plus important, mais ne saurait inclure l'ensemble 1, qui lui est étranger.

Le recensement exhaustif fait ressortir la totalité des échelles ethniques. Cela va des modes pentatoniques (ou tétratoniques) utilisés dans les sociétés traditionnelles aux 8 modes de Messiaen, en passant par les 72 modes des RAGA de l'Inde.

    Un peu d'arithmétique

Les échelles sont classées par ordre croissant de notes, de 1 à 12 (1 représentant le son unique ou l'octave et 12 l'échelle unique à 12 sons).

Ce qui nous donne l'architecture numérique suivante:

 NS: 1     2    3     4      5     6     7     8     9  10   11   12

 NE: 1   11   55  165  330 462  462 330  165  55   11   1

 (NS = nombre de notes, NE = nombre d'échelles)

A partir de 7 notes, le nombre d'échelles décroît selon la même proportion que la phase croissante, bel exemple d'arrangement ordonné non-symétrique. Pour une échelle donnée, l'espace utilisé croît proportionnellement au nombre de notes de l'échelle. Ainsi, pour l'échelle à 12 sons, l'espace utilisé est maximal (1 x 12 = 12). Inversement, pour une échelle donnée, l'espace vierge décroît en raison inverse du nombre de notes de l'échelle. Pour l'échelle à 1 note, l'espace vierge est maximal (12 -1 X 1 = 11).

On peut ajouter un troisième paramètre, le champ, qui est ici synonyme de diversité. Pour nos deux échelles à 1 et 12 notes, il est facile de s'apercevoir que le champ est nul, étant donné que nous disposons seulement d'une échelle. En revanche, pour les échelles à 6 et 7 notes, le champ est de 462 x 12 = 5544, ce qui indique un maximum de diversité (il faut s'imaginer une matrice de 5544 cases, dont certaines sont remplies et d'autres pas).

En termes de champ, ce sont les échelles à 7 notes qui occupent le maximum d'espace: 7 x 462 = 3234. Les échelles à 6 notes l'emportent quant à l'espace vierge :  12 - 6 x 462 = 2772 (rappelons que l'espace vierge est l'espace inoccupé par les notes de l'échelle).

Pratiquement, si un compositeur veut traduire les paramètres DIVERSITE + PRESENCE, il utilisera les échelles de 7, 8 et 9 notes. S'il veut traduire les paramètres DIVERSITE + ESPACE, il utilisera les échelles de 6, 5 et 4 notes. Au-delà de 9 notes, il traduira la PRESENCE sans la diversité. En deçà de 4 notes, il traduira l'ESPACE sans la diversité. Au total, pour les 2048 échelles, nous avons un peu plus d'espace utilisé que d'espace vierge.

Total de l'espace vierge = 11264

Total de l'espace utilisé = 13312

Différence: 13312 - 11264 = 2048 (nombre total des échelles)


PRÉSENCE

<diversité>

ESPACE


    Encore des chiffres

2048 = 32 x 64 ou 16 x 16 x 8 ou 2 puissance 11.

Valeur de l'ensemble diachromatique pour les 12 demi-tons du système tempéré : 2048 x 12 = 24576 (toutes les échelles possibles à toutes les hauteurs de l'octave).

Total de l'ensemble hepta-diatonique:  255

    Echelles:

    monotonique      1

    bitoniques       11

    tritoniques        45

    tétratoniques    80

    pentatoniques    75

    hexatoniques     36

    heptatoniques    7

    TOTAL            255

Total de l'ensemble dodeca-chromatique:    1793

    Echelles

    tritoniques      10

    tétratoniques  85

    pentatoniques  255

    hexatoniques   426

    heptatoniques  455

    octatoniques   330

    nonatoniques   165

    décatoniques   55

    endécatoniques 11

    dodécatonique  1

    TOTAL  1793


1793 + 255 = 2048

Y.Jaffrennou © 2004